Unidad B2 · Mercados no competitivosUnit B2 · Non-competitive markets

¿Cuánto producto cuesta bajar la inflación?How much output does it cost to bring inflation down?

Con precios rígidos, una tasa de interés más alta sube la tasa real, enfría la demanda y solo así baja la inflación. Mueve la rigidez de Calvo y la regla de Taylor, compara un choque de demanda con uno de costos y busca el punto en el que la regla deja de anclar la economía. With sticky prices, a higher interest rate raises the real rate, cools demand, and only through that brings inflation down. Move Calvo stickiness and the Taylor rule, compare a demand shock with a cost-push shock, and find the point where the rule stops anchoring the economy.

Extensión · OccBinExtension · OccBin

La cota inferior cero: el mismo choque, dos mundosThe zero lower bound: the same shock, two worlds

La tasa nominal no puede bajar de cero. Si un choque de demanda la lleva al piso, la regla deja de estabilizar, la deflación esperada sube la tasa real y la caída se amplifica. Con −2.5% y una tasa de 4%, la brecha cae 10.9% en vez de 3.8% y la economía pasa seis trimestres en la cota. Baja la tasa nominal de largo plazo a 2% y prueba un choque de solo −1.5%: siete trimestres en la cota. The nominal rate cannot go below zero. If a demand shock pushes it to the floor, the rule stops stabilizing, expected deflation raises the real rate, and the slump is amplified. With −2.5% and a 4% rate, the output gap falls 10.9% instead of 3.8% and the economy spends six quarters at the bound. Lower the steady-state nominal rate to 2% and try a shock of only −1.5%: seven quarters at the bound.

Qué probarThings to try

Con el choque monetario y la calibración del curso, la brecha cae 0.55% y la inflación 0.59 puntos en el impacto: razón de sacrificio de 0.93. Sube θ a 0.90 (precios fijos diez trimestres): la inflación apenas se mueve (−0.14) y la razón llega a 4.98. Baja θ a 0.10: la brecha cae solo 0.05%. Con precios casi flexibles, el dinero vuelve a ser casi neutral.With the monetary shock and the course calibration, the output gap falls 0.55% and inflation 0.59 points on impact: a sacrifice ratio of 0.93. Raise θ to 0.90 (prices fixed for ten quarters): inflation barely moves (−0.14) and the ratio reaches 4.98. Lower θ to 0.10: the gap falls only 0.05%. With nearly flexible prices, money is nearly neutral again.
Vuelve a la calibración del curso y baja φπ a 0.95. El laboratorio marca indeterminación: la frontera está en 0.99. Sube φy a 1 y 0.95 vuelve a ser determinado, pero 0.90 no: con 1 − β = 0.01, responder a la brecha casi no mueve la frontera. Ahora sube θ a 0.90: la frontera baja hasta 0.44, porque con κ pequeña cada punto de inflación permanente exige mucha más brecha.Go back to the course calibration and lower φπ to 0.95. The lab reports indeterminacy: the frontier is at 0.99. Raise φy to 1 and 0.95 is determinate again, but 0.90 is not: with 1 − β = 0.01, responding to the gap barely moves the frontier. Now raise θ to 0.90: the frontier drops to 0.44, because with a small κ each point of permanent inflation requires a much larger gap.
Elige el choque de costos con la calibración del curso: la inflación salta 2.52 puntos y la brecha cae 0.69%, una disyuntiva de 0.85. Sube φπ a 3 y compara con la referencia: el pico de inflación baja a 1.97, pero la brecha cae 1.19% y la disyuntiva sube a 1.66. Cambia al choque de demanda sin mover φπ: en el impacto, la brecha (0.62% frente a 0.71%) y la inflación (0.40 frente a 0.48) quedan las dos por debajo de la referencia. Ese choque no obliga a elegir.Choose the cost-push shock with the course calibration: inflation jumps 2.52 points and the output gap falls 0.69%, a trade-off of 0.85. Raise φπ to 3 and compare with the reference: peak inflation drops to 1.97, but the gap falls 1.19% and the trade-off rises to 1.66. Switch to the demand shock without touching φπ: on impact, the gap (0.62% versus 0.71%) and inflation (0.40 versus 0.48) are both below the reference. That shock forces no choice.
Restablece la calibración, elige el choque monetario y sube su persistencia ρ a 0.80. En la gráfica de tasas, la tasa nominal baja 0.40 puntos en el impacto aunque la política se endureció, mientras la tasa real sube 1.97. La inflación esperada cae tanto que la regla recorta i: la postura de la política se lee en la tasa real, no en la nominal.Reset the calibration, choose the monetary shock and raise its persistence ρ to 0.80. In the rates chart, the nominal rate falls 0.40 points on impact even though policy tightened, while the real rate rises 1.97. Expected inflation falls so much that the rule cuts i: the policy stance shows up in the real rate, not the nominal one.

La matemáticaThe math

El modelo de tres ecuacionesThe three-equation model

Con $\tilde y_t$ la brecha del producto, $\pi_t$ la inflación trimestral e $i_t$ la tasa nominal, todas en desviaciones del estado estacionario (modelos/new_keynesian_3eq.mod):With $\tilde y_t$ the output gap, $\pi_t$ quarterly inflation and $i_t$ the nominal rate, all in deviations from steady state (modelos/new_keynesian_3eq.mod):

$$\tilde y_t = E_t\tilde y_{t+1}-\tfrac{1}{\sigma}\left(i_t-E_t\pi_{t+1}-r^n_t\right)$$ $$\pi_t=\beta E_t\pi_{t+1}+\kappa\,\tilde y_t+u_t$$ $$i_t=\rho_i\, i_{t-1}+(1-\rho_i)\left(\phi_\pi\pi_t+\phi_y\tilde y_t\right)+v_t$$

con $r^n_t=\rho_{rn}r^n_{t-1}+\varepsilon^{rn}_t$, $u_t=\rho_u u_{t-1}+\varepsilon^u_t$ y $v_t=\rho_v v_{t-1}+\varepsilon^i_t$. En el .mod, $\rho_v=0$, así que $v_t=\varepsilon^i_t$. Calibración: $\beta=0.99$, $\sigma=1$, $\kappa=0.1275$, $\phi_\pi=1.5$, $\phi_y=0.125$, $\rho_i=0.75$, $\rho_{rn}=\rho_u=0.5$; desviaciones estándar de 0.0025, 0.005 y 0.005.with $r^n_t=\rho_{rn}r^n_{t-1}+\varepsilon^{rn}_t$, $u_t=\rho_u u_{t-1}+\varepsilon^u_t$ and $v_t=\rho_v v_{t-1}+\varepsilon^i_t$. In the .mod file $\rho_v=0$, so $v_t=\varepsilon^i_t$. Calibration: $\beta=0.99$, $\sigma=1$, $\kappa=0.1275$, $\phi_\pi=1.5$, $\phi_y=0.125$, $\rho_i=0.75$, $\rho_{rn}=\rho_u=0.5$; standard deviations of 0.0025, 0.005 and 0.005.

De la rigidez de Calvo a κFrom Calvo stickiness to κ

Una empresa no puede reajustar su precio con probabilidad $\theta$; la duración media de un precio es $1/(1-\theta)$ trimestres. La pendiente de la curva de Phillips esA firm cannot reset its price with probability $\theta$; a price lasts $1/(1-\theta)$ quarters on average. The slope of the Phillips curve is

$$\kappa=\frac{(1-\theta)(1-\beta\theta)}{\theta}\,(\sigma+\varphi),$$

con $\varphi$ la inversa de la elasticidad de Frisch. Como en el cuaderno T02_C, $\varphi=0.4854$ se fija para que $\theta=0.75$ reproduzca $\kappa=0.1275$; el control de θ mueve solo κ. Cuando $\theta\to 0$, $\kappa\to\infty$, la brecha se anula y el dinero es neutral.with $\varphi$ the inverse Frisch elasticity. As in notebook T02_C, $\varphi=0.4854$ is set so that $\theta=0.75$ reproduces $\kappa=0.1275$; the θ control moves only κ. As $\theta\to 0$, $\kappa\to\infty$, the gap vanishes and money is neutral.

El principio de TaylorThe Taylor principle

Una inflación permanente $\bar\pi$ exige, por la curva de Phillips, una brecha $\bar y=\frac{1-\beta}{\kappa}\bar\pi$, y la regla responde a largo plazo con $\bar\imath=\big(\phi_\pi+\phi_y\frac{1-\beta}{\kappa}\big)\bar\pi$. Si ese coeficiente es mayor que uno, la tasa real sube con la inflación y la única desviación autosostenida es cero. Con $\phi_\pi,\phi_y\ge 0$ y $0\le\rho_i<1$, el equilibrio es único si y solo siBy the Phillips curve, permanent inflation $\bar\pi$ requires a gap $\bar y=\frac{1-\beta}{\kappa}\bar\pi$, and the rule responds in the long run with $\bar\imath=\big(\phi_\pi+\phi_y\frac{1-\beta}{\kappa}\big)\bar\pi$. If that coefficient exceeds one, the real rate rises with inflation and the only self-sustaining deviation is zero. With $\phi_\pi,\phi_y\ge 0$ and $0\le\rho_i<1$, the equilibrium is unique if and only if

$$\kappa(\phi_\pi-1)+(1-\beta)\phi_y>0 .$$

El suavizamiento no mueve la frontera, porque la regla está escrita con coeficientes de largo plazo (Bullard y Mitra 2002; Woodford 2003). La condición coincide con las banderas de Blanchard–Kahn de puremacro en todos los casos probados.Smoothing does not move the frontier, because the rule is written with long-run coefficients (Bullard and Mitra 2002; Woodford 2003). The condition matches puremacro's Blanchard–Kahn flags in every case tested.

Unidades y estadísticosUnits and statistics

La brecha va en % ($100\,\tilde y$); inflación y tasas, en puntos anualizados ($400\times$). La tasa real es $r_t=i_t-E_t\pi_{t+1}$: después del choque no llegan sorpresas, así que $E_t\pi_{t+1}$ es la inflación del trimestre siguiente en la misma trayectoria. Las razones acumulan 24 trimestres, como el barrido de Calvo de T02_C:The gap is in % ($100\,\tilde y$); inflation and rates in annualized points ($400\times$). The real rate is $r_t=i_t-E_t\pi_{t+1}$: no surprises arrive after the shock, so $E_t\pi_{t+1}$ is next quarter's inflation on the same path. The ratios cumulate 24 quarters, as in the Calvo sweep of T02_C:

$$\text{ratio}=\frac{\sum_{t=0}^{23}100\,\tilde y_t}{\sum_{t=0}^{23}400\,\pi_t}.$$

Con el choque de costos se muestra con el signo cambiado: puntos de brecha perdidos por cada punto de inflación adicional.For the cost-push shock it is shown with the sign flipped: points of output gap lost per point of additional inflation.

La cota cero con OccBinThe zero bound with OccBin

El modelo de nk_zlb_ref.mod tiene la regla $r_t=\phi_\pi\pi_t+\phi_y y_t$ y un choque de demanda $g_t$ en la IS; en nk_zlb_cons.mod la regla se reemplaza por $r_t=-r_{ss}$. Con previsión perfecta, dada una secuencia de regímenes, la recursión hacia atrás desde el régimen de referencia daThe model in nk_zlb_ref.mod has the rule $r_t=\phi_\pi\pi_t+\phi_y y_t$ and a demand shock $g_t$ in the IS curve; in nk_zlb_cons.mod the rule is replaced by $r_t=-r_{ss}$. Under perfect foresight, given a regime sequence, the backward recursion from the reference regime gives

$$x_t=\big(A_0^{s_t}-A_1^{s_t}P_{t+1}\big)^{-1}\big(A_2^{s_t}x_{t-1}+A_1^{s_t}D_{t+1}+c^{s_t}\big).$$

Se simula hacia adelante, se marca $s_t=1$ donde la tasa nocional $\phi_\pi\pi_t+\phi_y y_t$ queda por debajo de $-r_{ss}$ y se repite hasta que la secuencia no cambia (Guerrieri e Iacoviello 2015). Coincide con puremacro.dsge.solve_occbin en regímenes y trayectorias.Simulate forward, set $s_t=1$ wherever the notional rate $\phi_\pi\pi_t+\phi_y y_t$ is below $-r_{ss}$, and repeat until the sequence stops changing (Guerrieri and Iacoviello 2015). It matches puremacro.dsge.solve_occbin in regimes and paths.

Llévalo más lejosTake it further

Modelos: modelos/new_keynesian_3eq.mod, nk_zlb_ref.mod y nk_zlb_cons.mod del curso. El laboratorio los resuelve en el navegador; sus impulsos-respuesta coinciden con los de puremacro 4.0.1 hasta 10⁻¹⁴. Models: the course's modelos/new_keynesian_3eq.mod, nk_zlb_ref.mod and nk_zlb_cons.mod. The lab solves them in the browser; its impulse responses match puremacro 4.0.1 to within 10⁻¹⁴.