Unidad A6 · Mercados incompletos, heterogeneidad y HANKUnit A6 · Incomplete markets, heterogeneity and HANK

¿Qué pasa cuando nadie puede asegurar su ingreso?What happens when no one can insure their income?

Hogares idénticos de entrada, con choques de ingreso que no pueden asegurar y un límite para endeudarse. Este laboratorio resuelve el equilibrio de Aiyagari (1994) en tu navegador: el ahorro precautorio baja la tasa de interés por debajo de 1/β − 1, aparece una distribución de la riqueza y, con ella, propensiones a consumir muy distintas. Cuando el estado agregado es una distribución, la propensión agregada deja de ser un parámetro libre. Households start out identical, face income shocks they cannot insure, and can borrow only up to a limit. This lab solves the Aiyagari (1994) equilibrium in your browser: precautionary saving pushes the interest rate below 1/β − 1, a wealth distribution emerges and, with it, very different propensities to consume. When the aggregate state is a distribution, the aggregate propensity stops being a free parameter.

Qué probarThings to try

Con la calibración del curso, r* = 2.03% contra 4.17% con mercados completos. Baja σ_ε a 0.05: el riesgo casi desaparece, la oferta de capital se aplana contra 1/β − 1 y r* sube a 4.00%. Esos dos puntos de diferencia son ahorro precautorio puro. Regresa a 0.20 y sube γ a 4: con más prudencia, r* cae a −0.04%.At the course calibration r* = 2.03%, against 4.17% with complete markets. Lower σ_ε to 0.05: risk nearly vanishes, capital supply flattens against 1/β − 1, and r* rises to 4.00%. Those two points are pure precautionary saving. Go back to 0.20 and raise γ to 4: with more prudence, r* falls to −0.04%.
Sube σ_ε de 0.20 a 0.30: r* cae a 0.33%, K/Y pasa de 3.59 a 4.32 y el Gini, de 0.53 a 0.56. Ahora regresa σ_ε a 0.20 y sube ρ de 0.90 a 0.95. La desviación estándar incondicional del log-ingreso baja de 0.69 a 0.64 (la nota bajo el control lo muestra), pero el Gini llega a 0.65: el riesgo persistente genera mucha más desigualdad.Raise σ_ε from 0.20 to 0.30: r* falls to 0.33%, K/Y goes from 3.59 to 4.32 and the Gini from 0.53 to 0.56. Now set σ_ε back to 0.20 and raise ρ from 0.90 to 0.95. The unconditional standard deviation of log income falls from 0.69 to 0.64 (the note under the control shows it), yet the Gini reaches 0.65: persistent risk generates far more inequality.
Afloja el límite de endeudamiento: ā de 0 a 3. Los hogares necesitan menos colchón, ahorran menos, r* sube a 2.40% y K/Y baja a 3.46. Casi uno de cada cuatro hogares queda endeudado, el Gini salta a 0.68 y la masa en la restricción baja de 2.0% a 1.0%.Loosen the borrowing limit: ā from 0 to 3. Households need a smaller buffer and save less, so r* rises to 2.40% and K/Y falls to 3.46. Almost one household in four ends up in debt, the Gini jumps to 0.68, and the mass at the constraint falls from 2.0% to 1.0%.
Mira la PMC. En la restricción es 0.60 y lejos de ella, 0.07; el agregado es su promedio ponderado por la distribución. Cambia γ a 1 (el cuaderno usa utilidad logarítmica): la masa restringida sube a 7.3% y la PMC media pasa de 0.083 a 0.117. Regresa a γ = 2 y sube la transferencia a 1.0: la PMC media baja a 0.069 porque c(a, z) es cóncava. Ni el tamaño del choque ni la distribución son neutrales.Look at the MPC. At the constraint it is 0.60 and far from it 0.07; the aggregate is their average weighted by the distribution. Set γ to 1 (the notebook uses log utility): the constrained mass rises to 7.3% and the average MPC goes from 0.083 to 0.117. Return to γ = 2 and raise the transfer to 1.0: the average MPC falls to 0.069 because c(a, z) is concave. Neither the size of the shock nor the distribution is neutral.

La matemáticaThe math

El hogarThe household

Con utilidad CRRA, productividad $z$ que no se puede asegurar y un límite de endeudamiento $\bar a$:With CRRA utility, productivity $z$ that cannot be insured and a borrowing limit $\bar a$:

$$v(a,z)=\max_{a'\ge-\bar a}\Big\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\beta\sum_{z'}\Pi(z,z')\,v(a',z')\Big\}$$ $$c=(1+r)\,a+w\,e^{z}-a'$$

con $z'=\rho z+\varepsilon'$, $\varepsilon'\sim\mathcal N(0,\sigma_\varepsilon^2)$, discretizado en siete estados. La condición de Euler lleva el multiplicador $\nu\ge0$ de la restricción:with $z'=\rho z+\varepsilon'$, $\varepsilon'\sim\mathcal N(0,\sigma_\varepsilon^2)$, discretized on seven states. The Euler equation carries the multiplier $\nu\ge0$ on the constraint:

$$c^{-\gamma}=\beta(1+r)\sum_{z'}\Pi(z,z')\,c(a',z')^{-\gamma}+\nu,\qquad \nu\,(a'+\bar a)=0$$

Como $u'''>0$, el riesgo eleva $\mathbb E\,u'(c')$ y el hogar ahorra de más: es el motivo precautorio.Because $u'''>0$, risk raises $\mathbb E\,u'(c')$ and the household saves more: the precautionary motive.

Grillas endógenas (Carroll 2006)Endogenous grid method (Carroll 2006)

Se fija el activo de mañana $a'$ en la malla y se invierte la Euler, sin maximizar ni buscar raíces:Fix tomorrow's asset $a'$ on the grid and invert the Euler equation, with no maximization or root finding:

$$\tilde c(a',z)=\Big[\beta(1+r)\sum_{z'}\Pi(z,z')\,c_n(a',z')^{-\gamma}\Big]^{-1/\gamma}$$ $$\tilde a(a',z)=\frac{\tilde c(a',z)+a'-w e^{z}}{1+r}$$

Se interpola $(\tilde a,\tilde c)$ de regreso en la malla; si $a<\tilde a(-\bar a,z)$ la restricción se activa y $c=(1+r)a+we^{z}+\bar a$. Se itera hasta que $\lVert c_{n+1}-c_n\rVert_\infty<10^{-9}$. La malla tiene 300 nodos, $a_i=-\bar a+(a_{\max}+\bar a)\,u_i^{3}$ con $u_i$ equiespaciado, apretados junto a la restricción, donde vive la curvatura; $a_{\max}=100$ se estira si hay masa en el tope.Interpolate $(\tilde a,\tilde c)$ back on the grid; where $a<\tilde a(-\bar a,z)$ the constraint binds and $c=(1+r)a+we^{z}+\bar a$. Iterate until $\lVert c_{n+1}-c_n\rVert_\infty<10^{-9}$. The grid has 300 nodes, $a_i=-\bar a+(a_{\max}+\bar a)\,u_i^{3}$ with evenly spaced $u_i$, packed near the constraint where the curvature lives; $a_{\max}=100$ is stretched if mass reaches the top.

Distribución: la lotería de Young (2010)Distribution: Young's (2010) lottery

Sea $j=j(a,z)$ el nodo con $a_j\le a'(a,z)<a_{j+1}$. La masa $\mu(a,z)$ se reparte entre $a_j$ y $a_{j+1}$ con pesos que preservan la media, y luego $z$ se mueve con $\Pi$:Let $j=j(a,z)$ be the node with $a_j\le a'(a,z)<a_{j+1}$. The mass $\mu(a,z)$ is split between $a_j$ and $a_{j+1}$ with weights that preserve the mean, and then $z$ moves with $\Pi$:

$$\omega(a,z)=\frac{a_{j+1}-a'(a,z)}{a_{j+1}-a_j}$$ $$\mu'(a_i,z')=\sum_{a,z}\Pi(z,z')\,\mu(a,z)\big[\omega\,\mathbf 1\{j=i\}+(1-\omega)\,\mathbf 1\{j=i-1\}\big]$$

La distribución estacionaria es el punto fijo $\mu=T\mu$, sin simular a nadie. Cerca de $r=1/\beta-1$ la riqueza deriva lentamente y la iteración simple se vuelve lenta; ahí el laboratorio resuelve $(I-T+v\mathbf 1^\top)\,\mu=v$ con GMRES.The stationary distribution is the fixed point $\mu=T\mu$, with no simulation. Near $r=1/\beta-1$ wealth drifts slowly and plain iteration crawls; there the lab solves $(I-T+v\mathbf 1^\top)\,\mu=v$ with GMRES.

Equilibrio generalGeneral equilibrium

Empresas Cobb–Douglas con $\alpha=0.36$, $\delta=0.08$ y trabajo efectivo $L=\sum_z\pi(z)e^{z}$:Cobb–Douglas firms with $\alpha=0.36$, $\delta=0.08$ and effective labor $L=\sum_z\pi(z)e^{z}$:

$$r=\alpha\Big(\frac{K}{L}\Big)^{\alpha-1}-\delta,\qquad w=(1-\alpha)\Big(\frac{K}{L}\Big)^{\alpha}$$ $$A(r)\equiv\sum_{a,z}a\,\mu_r(a,z)\;=\;K^{d}(r)\equiv L\Big(\frac{\alpha}{r+\delta}\Big)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

$A(r)$ crece con $r$ y diverge cuando $r\to1/\beta-1$; $K^d$ decrece. Por eso $r^*<1/\beta-1$ y $K/Y=\alpha/(r^*+\delta)$ es mayor que con mercados completos. La raíz se busca con el método de Brent.$A(r)$ rises with $r$ and diverges as $r\to1/\beta-1$; $K^d$ falls. Hence $r^*<1/\beta-1$, and $K/Y=\alpha/(r^*+\delta)$ is higher than with complete markets. The root is found with Brent's method.

PMC y GiniMPC and Gini

Una transferencia de $T$ bienes hoy equivale a $T/(1+r)$ unidades más de activo al inicio del periodo:A transfer of $T$ goods today is worth $T/(1+r)$ more units of beginning-of-period assets:

$$\mathrm{PMC}(a,z)=\frac{c\big(a+\tfrac{T}{1+r},z\big)-c(a,z)}{T}$$ $$\overline{\mathrm{PMC}}=\sum_{a,z}\mu(a,z)\,\mathrm{PMC}(a,z)$$

Lejos de la restricción la PMC baja hacia $\kappa=1-[\beta(1+r)]^{1/\gamma}/(1+r)$, sin alcanzarlo; con mercados completos, $\beta(1+r)=1$ y la PMC es $1-\beta$ para todos. El Gini sale de la curva de Lorenz $(P_i,S_i)$: $G=1-\sum_i(P_i-P_{i-1})(S_i+S_{i-1})$. Con deuda la riqueza acumulada puede ser negativa y el Gini puede pasar de 1.Far from the constraint the MPC falls toward $\kappa=1-[\beta(1+r)]^{1/\gamma}/(1+r)$ without reaching it; with complete markets, $\beta(1+r)=1$ and the MPC is $1-\beta$ for everyone. The Gini comes from the Lorenz curve $(P_i,S_i)$: $G=1-\sum_i(P_i-P_{i-1})(S_i+S_{i-1})$. With debt, cumulative wealth can be negative and the Gini can exceed 1.

Tauchen o RouwenhorstTauchen or Rouwenhorst

El mazo usa Tauchen con $m=3$ desviaciones estándar. Rouwenhorst reproduce exactamente la varianza y la autocorrelación del AR(1) con cualquier número de estados; Tauchen con siete estados se degrada cuando $\rho\to1$ (Kopecky y Suen 2010). Con $\rho=0.98$ y $\sigma_\varepsilon=0.20$, Tauchen da $r^*=1.81\%$ y un Gini de 0.82; Rouwenhorst, $r^*=0.22\%$ y 0.71.The deck uses Tauchen with $m=3$ standard deviations. Rouwenhorst matches the variance and autocorrelation of the AR(1) exactly for any number of states; Tauchen with seven states degrades as $\rho\to1$ (Kopecky and Suen 2010). With $\rho=0.98$ and $\sigma_\varepsilon=0.20$, Tauchen gives $r^*=1.81\%$ and a Gini of 0.82; Rouwenhorst gives $r^*=0.22\%$ and 0.71.

Llévalo más lejosTake it further

Ojo con la calibración: el cuaderno T06_A usa utilidad logarítmica y cinco estados, y por eso obtiene r* = 3.06% y un Gini de 0.63. Este laboratorio usa la del mazo: γ = 2, ρ = 0.90, σ_ε = 0.20, Tauchen con siete estados.Mind the calibration: notebook T06_A uses log utility and five states, which is why it gets r* = 3.06% and a Gini of 0.63. This lab uses the deck's: γ = 2, ρ = 0.90, σ_ε = 0.20, Tauchen with seven states.