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Unidad A2 · El modelo neoclásico de crecimientoUnit A2 · The neoclassical growth model

¿Qué tan rápido alcanza una economía su estado estacionario?How fast does an economy reach its steady state?

Un planificador elige cuánto consumir y cuánto acumular. La única trayectoria que no termina en ruina ni en desperdicio es la senda de silla. Aquí se calcula completa, sin linealizar, y se compara con la aproximación de primer orden que usa Dynare: coinciden cerca del estado estacionario y se separan lejos de él. A planner chooses how much to consume and how much to accumulate. The only path that ends neither in ruin nor in waste is the saddle path. Here it is computed in full, without linearizing, and compared with the first-order approximation that Dynare uses: they agree near the steady state and part ways far from it.

Mercados. Estas trayectorias de rₜ y wₜ son los precios de un equilibrio competitivo con hogares dueños del capital y empresas que maximizan beneficios. A esos precios, los hogares eligen exactamente la misma asignación que el planificador (primer teorema del bienestar). Con Cobb–Douglas, wₜ = (1 − α)yₜ: el salario se mueve en la misma proporción que el producto. Markets. These paths for rₜ and wₜ are the prices of a competitive equilibrium in which households own the capital and firms maximize profits. At those prices, households choose exactly the planner's allocation (first welfare theorem). With Cobb–Douglas, wₜ = (1 − α)yₜ: the wage moves in the same proportion as output.

Qué probarThings to try

  1. Deja k₀ en 50% y luego bájalo a 20%. La aproximación log-lineal fija un c₀ 1.4% por debajo del global con 50% y 7.6% por debajo con 20%. Cambia a «lineal en niveles»: los errores son +4.6% y +25.9%. Con k₀ = 3%, la recta queda por encima de Δk = 0: predice que una economía muy pobre se come su capital. Mira también la vida media: la de la trayectoria global es de 7.6 y 8.2 años, frente a 7.1 en primer orden.Leave k₀ at 50% and then lower it to 20%. The log-linear approximation puts c₀ 1.4% below the global value at 50% and 7.6% below at 20%. Switch to "linear in levels": the errors are +4.6% and +25.9%. At k₀ = 3%, the straight line sits above Δk = 0: it predicts that a very poor economy eats its capital. Look at the half-life too: along the global path it is 7.6 and 8.2 years, against 7.1 at first order.
  2. Sube α de 0.33 a 0.75. La vida media pasa de 7.1 a 28.5 años y la brecha se cierra 2.4% al año, cerca del 2% de Barro y Sala-i-Martin. Es el argumento de Mankiw, Romer y Weil: si α incluye el capital humano, la convergencia lenta deja de ser un enigma.Raise α from 0.33 to 0.75. The half-life goes from 7.1 to 28.5 years and the gap closes by 2.4% a year, close to Barro and Sala-i-Martin's 2%. This is Mankiw, Romer and Weil's argument: if α includes human capital, slow convergence is no longer a puzzle.
  3. Pon k₀ = 100% y la PTF en +10%. El consumo salta 6.3% en t = 0, el capital sube poco a poco hasta +15.3% y la tasa de interés brinca a 4.0% antes de volver a r* = 3.1%. Sube σ a 5: el salto del consumo crece a +10.3% y la vida media, a 18.7 años. Con σ = 0.25 el consumo incluso cae 0.2% al impacto, porque domina la sustitución intertemporal.Set k₀ = 100% and TFP to +10%. Consumption jumps 6.3% at t = 0, capital rises gradually to +15.3%, and the interest rate leaps to 4.0% before returning to r* = 3.1%. Raise σ to 5: the consumption jump grows to +10.3% and the half-life to 18.7 years. With σ = 0.25 consumption even falls 0.2% on impact, because intertemporal substitution dominates.
  4. Sube β de 0.97 a 0.99. El ahorro de estado estacionario pasa de 21.8% a 28.2%, k* sube 47% y r* baja a 1.0%. Aun con β = 0.995 (s* = 30.5%) queda por debajo de la regla de oro, s = α = 33%: un planificador impaciente nunca acumula hasta maximizar el consumo de estado estacionario.Raise β from 0.97 to 0.99. The steady-state saving rate goes from 21.8% to 28.2%, k* rises 47% and r* falls to 1.0%. Even at β = 0.995 (s* = 30.5%) it stays below the golden rule, s = α = 33%: an impatient planner never accumulates up to the point that maximizes steady-state consumption.

La matemáticaThe math

El problema del planificadorThe planner's problem $$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}}\ \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t\,\frac{c_t^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}$$

sujeto a la restricción de recursos, con \(k_0\) dado:subject to the resource constraint, with \(k_0\) given:

$$c_t+k_{t+1}=Ak_t^{\alpha}+(1-\delta)k_t .$$

La ecuación de Euler y la restricción de recursos forman el sistema dinámico:The Euler equation and the resource constraint form the dynamic system:

$$c_t^{-\sigma}=\beta\,c_{t+1}^{-\sigma}\big(\alpha A k_{t+1}^{\alpha-1}+1-\delta\big),$$ $$k_{t+1}=Ak_t^{\alpha}+(1-\delta)k_t-c_t .$$

En el estado estacionario, \(\alpha A k^{*\alpha-1}=1/\beta-1+\delta\), de modo queAt the steady state, \(\alpha A k^{*\alpha-1}=1/\beta-1+\delta\), so

$$k^*=\left(\frac{\alpha A}{1/\beta-1+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}},$$ $$s^*=\frac{\delta k^*}{y^*}=\frac{\alpha\delta}{1/\beta-1+\delta}<\alpha .$$
Los lugares geométricos en tiempo discretoThe loci in discrete time

\(\Delta k=0\) exige \(c=Ak^{\alpha}-\delta k\). Por debajo de esa curva el capital crece. \(\Delta c=0\) exige \(k_{t+1}=k^*\); con la restricción de recursos,\(\Delta k=0\) requires \(c=Ak^{\alpha}-\delta k\). Below that curve capital grows. \(\Delta c=0\) requires \(k_{t+1}=k^*\); with the resource constraint,

$$c_t=Ak_t^{\alpha}+(1-\delta)k_t-k^*.$$

En tiempo continuo esta curva es la vertical \(k=k^*\); en tiempo discreto tiene pendiente \(1/\beta\) en el estado estacionario. Por encima de ella, \(k_{t+1}<k^*\), el rendimiento supera a \(1/\beta\) y el consumo crece.In continuous time this curve is the vertical line \(k=k^*\); in discrete time its slope at the steady state is \(1/\beta\). Above it, \(k_{t+1}<k^*\), the return exceeds \(1/\beta\) and consumption grows.

Primer orden y vida mediaFirst order and half-life

Al linealizar alrededor de \((k^*,c^*)\) con \(b=\beta f''(k^*)c^*/\sigma<0\), la matriz de transición tiene traza \(1+1/\beta-b\) y determinante \(1/\beta\). Su raíz estable \(\lambda\) da la reglaLinearizing around \((k^*,c^*)\) with \(b=\beta f''(k^*)c^*/\sigma<0\), the transition matrix has trace \(1+1/\beta-b\) and determinant \(1/\beta\). Its stable root \(\lambda\) gives the rule

$$k_{t+1}-k^*=\lambda\,(k_t-k^*),\qquad c_t-c^*=g_c\,(k_t-k^*),$$ $$g_c=\tfrac{1}{\beta}-\lambda,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\lambda}.$$

La versión log-lineal usa la misma pendiente como elasticidad, \(\ln(c_t/c^*)=\psi\ln(k_t/k^*)\) con \(\psi=g_c k^*/c^*\). Ambas son tangentes a la senda de silla en el estado estacionario.The log-linear version uses the same slope as an elasticity, \(\ln(c_t/c^*)=\psi\ln(k_t/k^*)\) with \(\psi=g_c k^*/c^*\). Both are tangent to the saddle path at the steady state.

Cómo se calcula la senda globalHow the global path is computed

Disparo inverso: se parte de un punto a \(10^{-5}k^*\) del estado estacionario, sobre el vector propio estable, y se itera el sistema hacia atrás,Reverse shooting: start at a point \(10^{-5}k^*\) away from the steady state, on the stable eigenvector, and iterate the system backwards,

$$c_t=c_{t+1}\big[\beta\,(\alpha A k_{t+1}^{\alpha-1}+1-\delta)\big]^{-1/\sigma},$$ $$Ak_t^{\alpha}+(1-\delta)k_t=k_{t+1}+c_t .$$

Hacia atrás, la senda de silla es la dirección que se aleja, así que los errores numéricos se corrigen solos. La transición desde \(k_0\) se resuelve aparte, con Newton sobre las ecuaciones de Euler apiladas de \(t=0\) a \(T\) y \(k_{T+1}=k^*\). Las dos soluciones coinciden con un error relativo menor que \(10^{-5}\).Backwards, the saddle path is the expanding direction, so numerical errors correct themselves. The transition from \(k_0\) is solved separately, by Newton on the Euler equations stacked from \(t=0\) to \(T\) with \(k_{T+1}=k^*\). The two solutions agree to a relative error below \(10^{-5}\).

Equivalencia con el equilibrio competitivoEquivalence with the competitive equilibrium

Las empresas rentan capital y trabajo: \(r_t+\delta=\alpha Ak_t^{\alpha-1}\) y \(w_t=(1-\alpha)Ak_t^{\alpha}\). Los hogares enfrentan \(c_t+k_{t+1}=w_t+(1+r_t)k_t\) y su Euler es \(c_t^{-\sigma}=\beta(1+r_{t+1})c_{t+1}^{-\sigma}\). Con rendimientos constantes, \(w_t+(r_t+\delta)k_t=Ak_t^{\alpha}\), así que la restricción del hogar es la de recursos y las dos Euler son idénticas: la misma asignación.Firms rent capital and labor: \(r_t+\delta=\alpha Ak_t^{\alpha-1}\) and \(w_t=(1-\alpha)Ak_t^{\alpha}\). Households face \(c_t+k_{t+1}=w_t+(1+r_t)k_t\) and their Euler equation is \(c_t^{-\sigma}=\beta(1+r_{t+1})c_{t+1}^{-\sigma}\). With constant returns, \(w_t+(r_t+\delta)k_t=Ak_t^{\alpha}\), so the household budget is the resource constraint and the two Euler equations are identical: the same allocation.

Llévalo más lejosTake it further