Unidad A4 · Ciclos económicos reales y contabilidad del cicloUnit A4 · Real business cycles and business-cycle accounting

¿Bastan los choques de productividad para explicar el ciclo?Can productivity shocks alone explain the business cycle?

El modelo RBC canónico convierte un choque persistente a la productividad total de los factores en un ciclo: el consumo se suaviza, la inversión amplifica y las horas responden por sustitución intertemporal. Mueve la calibración, mira las respuestas y pon los momentos del modelo junto a los de EE. UU.: algunos cuadran y uno falla de forma espectacular. The canonical RBC model turns a persistent shock to total factor productivity into a cycle: consumption is smoothed, investment amplifies and hours respond through intertemporal substitution. Move the calibration, watch the responses and set the model's moments next to those of the United States: some match, and one fails spectacularly.

Qué probarThings to try

Pulsa «Hansen: ν = 0». Las horas suben 1.05 % en el impacto en lugar de 0.39 %, y $\sigma_h/\sigma_y$ pasa de 0.41 a 0.75. Con $\nu = 1$ el impacto es 0.50 %: de ahí sale el «× 2.1» de las diapositivas. La indivisibilidad acerca el modelo al dato (1.19), pero no lo alcanza.Click "Hansen: ν = 0". Hours rise 1.05% on impact instead of 0.39%, and $\sigma_h/\sigma_y$ goes from 0.41 to 0.75. With $\nu = 1$ the impact is 0.50%: that is where the "× 2.1" in the slides comes from. Indivisibility brings the model closer to the data (1.19), but does not get there.
Mira corr(horas, productividad): 0.94 en la base, −0.07 en los datos y −0.60 desde 1984. Con un solo choque, horas y productividad las mueve el mismo impulso; recorriendo todos los controles no encontramos un valor menor que 0.36. Hace falta un segundo choque que desplace la oferta de trabajo (Christiano y Eichenbaum, 1992).Look at corr(hours, productivity): 0.94 at the base calibration, −0.07 in the data and −0.60 since 1984. With a single shock, hours and productivity are driven by the same impulse; sweeping every control we found no value below 0.36. It takes a second shock that shifts labor supply (Christiano and Eichenbaum, 1992).
Sube $\rho_a$ de 0.95 a 0.99. El choque se parece más a uno permanente: el consumo responde más ($\sigma_c/\sigma_y$ de 0.33 a 0.49) y la inversión menos ($\sigma_i/\sigma_y$ de 3.30 a 2.72). Ahora bájalo a 0.5: la autocorrelación del producto cae de 0.72 a 0.38. El modelo casi no genera persistencia propia; la hereda del choque (Cogley y Nason, 1995).Raise $\rho_a$ from 0.95 to 0.99. The shock looks more like a permanent one: consumption responds more ($\sigma_c/\sigma_y$ from 0.33 to 0.49) and investment less ($\sigma_i/\sigma_y$ from 3.30 to 2.72). Now lower it to 0.5: output's autocorrelation falls from 0.72 to 0.38. The model generates almost no persistence of its own; it inherits it from the shock (Cogley and Nason, 1995).
Mueve $\sigma_a$. Cambian $\sigma_y$ y el tamaño de las respuestas, pero ningún cociente ni correlación. Así se calibra: con $\sigma_a$ ≈ 0.88 % el modelo reproduce el $\sigma_y$ = 1.58 % de los datos, y todos los demás momentos quedan como prueba del modelo, no como objetivo.Move $\sigma_a$. $\sigma_y$ and the size of the responses change, but no ratio or correlation does. That is how calibration works: with $\sigma_a$ ≈ 0.88% the model reproduces the data's $\sigma_y$ = 1.58%, and every other moment is left as a test of the model, not a target.

La matemáticaThe math

El modeloThe model

Un planificador elige consumo, horas y capital:A planner chooses consumption, hours and capital:

$$\max\; E_0\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t\Big[\log c_t+\mu\,\frac{(1-l_t)^{1-\nu}}{1-\nu}\Big]$$ $$c_t+k_t-(1-\delta)k_{t-1}=e^{a_t}k_{t-1}^{\alpha}\,l_t^{1-\alpha}$$ $$a_t=\rho_a a_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\sim N(0,\sigma_a^2)$$

Las condiciones de equilibrio son la oferta de trabajo $\mu(1-l_t)^{-\nu}c_t=w_t$, la ecuación de Euler $1/c_t=\beta E_t[(r_{t+1}+1-\delta)/c_{t+1}]$ y los precios competitivos $w_t=(1-\alpha)y_t/l_t$, $r_t=\alpha y_t/k_{t-1}$. La calibración base es la de modelos/rbc_canonico.mod: $\alpha=0.33$, $\beta=0.99$, $\delta=0.025$, $\nu=1.5$, $\rho_a=0.95$, $\sigma_a=0.007$. Para cada $\nu$, $\mu$ se recalibra para que las horas de estado estacionario sean $l=0.33$.The equilibrium conditions are labor supply $\mu(1-l_t)^{-\nu}c_t=w_t$, the Euler equation $1/c_t=\beta E_t[(r_{t+1}+1-\delta)/c_{t+1}]$ and competitive prices $w_t=(1-\alpha)y_t/l_t$, $r_t=\alpha y_t/k_{t-1}$. The base calibration is the one in modelos/rbc_canonico.mod: $\alpha=0.33$, $\beta=0.99$, $\delta=0.025$, $\nu=1.5$, $\rho_a=0.95$, $\sigma_a=0.007$. For each $\nu$, $\mu$ is recalibrated so that steady-state hours are $l=0.33$.

Log-linealizaciónLog-linearization

Con $\hat x_t$ la desviación logarítmica respecto del estado estacionario:With $\hat x_t$ the log deviation from steady state:

$$\hat c_t+\nu\tfrac{l}{1-l}\,\hat l_t=\hat w_t$$ $$\hat c_t=E_t\hat c_{t+1}-\beta\bar r\,E_t\hat r_{t+1}$$ $$\hat y_t=a_t+\alpha\hat k_{t-1}+(1-\alpha)\hat l_t$$ $$\hat w_t=\hat y_t-\hat l_t,\qquad \hat r_t=\hat y_t-\hat k_{t-1}$$ $$\hat y_t=\tfrac{c}{y}\hat c_t+\tfrac{i}{y}\hat\imath_t$$ $$\hat k_t=(1-\delta)\hat k_{t-1}+\delta\,\hat\imath_t$$

Como $\hat w_t=\hat y_t-\hat l_t$, en este modelo el salario real y la productividad media del trabajo son la misma variable.Since $\hat w_t=\hat y_t-\hat l_t$, in this model the real wage and average labor productivity are the same variable.

Solución y momentosSolution and moments

Por coeficientes indeterminados, $\hat k_t=\psi_{kk}\hat k_{t-1}+\psi_{ka}a_t$ y $\hat c_t=\psi_{ck}\hat k_{t-1}+\psi_{ca}a_t$. Sustituir en el sistema da una cuadrática en $\psi_{ck}$; se toma la raíz con $|\psi_{kk}|<1$. Todo lo demás es lineal en $(\hat k_{t-1},a_t)$.By undetermined coefficients, $\hat k_t=\psi_{kk}\hat k_{t-1}+\psi_{ka}a_t$ and $\hat c_t=\psi_{ck}\hat k_{t-1}+\psi_{ca}a_t$. Substituting into the system gives a quadratic in $\psi_{ck}$; take the root with $|\psi_{kk}|<1$. Everything else is linear in $(\hat k_{t-1},a_t)$.

Los momentos del modelo pasan por el mismo filtro que los datos. Con $X(\omega)$ la respuesta en frecuencia de $\hat x_t$ al choque y la ganancia del componente cíclico de HP,The model's moments go through the same filter as the data. With $X(\omega)$ the frequency response of $\hat x_t$ to the shock and the gain of the HP cyclical component,

$$H(\omega)=\frac{4\lambda(1-\cos\omega)^2}{1+4\lambda(1-\cos\omega)^2}$$ $$\Gamma_k=\frac{\sigma_a^2}{\pi}\int_0^{\pi}H(\omega)^2\,\mathrm{Re}\big[X(\omega)X(\omega)^{*}\big]\cos(\omega k)\,d\omega$$

Son momentos poblacionales (sin error de muestreo), calculados con 4096 frecuencias.These are population moments (no sampling error), computed on 4,096 frequencies.

Trabajo indivisible (Hansen, 1985; Rogerson, 1988)Indivisible labor (Hansen, 1985; Rogerson, 1988)

La elasticidad de Frisch de las horas es $\eta=(1-l)/(\nu l)$. Si cada persona trabaja una jornada fija $\bar h$ o no trabaja, y una lotería de empleo con seguro completo asigna quién trabaja, la utilidad del hogar es lineal en las horas agregadas $l_t=\pi_t\bar h$:The Frisch elasticity of hours is $\eta=(1-l)/(\nu l)$. If each person works a fixed shift $\bar h$ or not at all, and an employment lottery with full insurance decides who works, household utility is linear in aggregate hours $l_t=\pi_t\bar h$:

$$\log c_t-B\,l_t,\qquad B=\frac{\mu\big[1-(1-\bar h)^{1-\nu}\big]}{(1-\nu)\,\bar h}$$

Es el límite $\nu\to 0$ del modelo: la elasticidad de Frisch agregada es infinita aunque la individual sea pequeña.This is the $\nu\to 0$ limit of the model: the aggregate Frisch elasticity is infinite even if the individual one is small.

¿Bastan los choques de productividad para explicar el ciclo?Can productivity shocks alone explain the business cycle?

Qué probarThings to try

La matemáticaThe math

Llévalo más lejosTake it further