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Deep Macro y redes neuronales informadas por la física

puremacro.vfi.deep_macro implementa un solucionador para modelos macroeconómicos dinámicos en alta dimensión basado en Redes Neuronales Informadas por la Física (PINN, Physics-Informed Neural Networks) y muestreo a lo largo de trayectorias ergódicas, siguiendo la metodología pionera de Maliar, Maliar y Winant (2021, Journal of Monetary Economics). Este motor resuelve modelos económicos dinámicos con $10+$ variables de estado continuas, donde los métodos tradicionales de colocación en producto tensorial o rejillas dispersas sucumben ante la maldición de la dimensionalidad.

De manera fundamental, toda la arquitectura de aprendizaje profundo —incluyendo la propagación hacia adelante del perceptrón multicapa, la retropropagación analítica exacta y el algoritmo de optimización Adam— está implementada en NumPy puro vectorizado. Este diseño garantiza un cumplimiento estricto del entorno de ejecución de Pyodide, WebAssembly y navegadores web (cero importaciones de PyTorch, TensorFlow o JAX), incorporando al mismo tiempo conectores opcionales de aceleración por hardware para Apple Silicon MLX y NVIDIA CuPy.

1. Marco teórico y computacional

1.1 La maldición de la dimensionalidad en macroeconomía dinámica

En modelos económicos dinámicos con producción multisectorial, encadenamientos comerciales internacionales o estructuras financieras complejas, el vector continuo de estados $s_t \in \mathbb{R}^D$ supera con frecuencia las $D \ge 10$ dimensiones (como 10 stocks de capital nacionales $k_t = (k_{1, t}, \dots, k_{10, t})'$).

Los métodos de proyección global convencionales discretizan cada dimensión en $N$ nodos: - Rejillas en producto tensorial completo: Exigen $N^D$ puntos de evaluación. Para $N = 10$ y $D = 10$, esto implica $10^{10}$ nodos, una barrera computacional inabordable. - Mallas dispersas de Smolyak: Reducen la complejidad a $O(D^\mu / \mu!)$, pero se encuentran restringidas en la práctica a dimensiones $D \le 6$ para órdenes polinómicos moderados.

Las Redes Neuronales Informadas por la Física eluden la discretización espacial en rejillas. Al parametrizar las reglas de decisión mediante redes neuronales profundas $c(s; \mathbf{w})$ y entrenar exclusivamente sobre el conjunto atractor ergódico económicamente relevante, el aprendizaje profundo escala eficazmente a espacios de estado de ultra-alta dimensión.

1.2 Formulación de las Redes Neuronales Informadas por la Física (PINN)

Considérese una economía regida por el sistema de residuos de Euler continuo:

\[\mathcal{R}(s, c(s); s', c(s')) \equiv u'(c(s)) - \beta \mathbb{E} \left[ u'(c(s')) \cdot \left( \mathbf{f}'(k', z') + 1 - \delta \right) \right] = \mathbf{0}\]

Un Perceptrón Multicapa (MLP) aproxima la función continua de política $c(s; \mathbf{w}): \mathbb{R}^D \to \mathbb{R}^P$, donde $\mathbf{w} = \{W^{(l)}, b^{(l)}\}_{l=0}^{L-1}$ representa las matrices de pesos y vectores de sesgo de la red.

El objetivo de la PINN consiste en minimizar el Error Cuadrático Medio de la ecuación de Euler sobre un lote de estados muestreados:

\[\mathcal{L}(\mathbf{w}) = \frac{1}{B} \sum_{b=1}^B \left\| \mathcal{R}\left( s_b, c(s_b; \mathbf{w}); s'_b, c(s'_b; \mathbf{w}) \right) \right\|_2^2\]

A diferencia del aprendizaje supervisado estándar, que requiere etiquetas precalculadas o datos de entrenamiento externos, las PINN se entrenan directamente sobre las condiciones de equilibrio del modelo: la pérdida es cero si y solo si se satisface la ecuación intertemporal de Euler.

1.3 Arquitectura MLP en NumPy puro y seguridad para Pyodide

Para garantizar cero dependencias externas y ejecución inmediata en entornos de navegador (como Juno o Google Colab bajo Pyodide), DeepMacroMLP implementa las fases de propagación y retropropagación utilizando álgebra lineal vectorizada en NumPy:

Propagación hacia adelante

Para la capa $l = 0, \dots, L-1$:

\[z^{(l+1)} = a^{(l)} W^{(l)} + b^{(l)}, \quad a^{(l+1)} = \sigma\left( z^{(l+1)} \right)\]

donde $a^{(0)} = s \in \mathbb{R}^{B \times D}$, y $\sigma(\cdot)$ es una función de activación suave.

Retropropagación analítica

Mediante la regla de la cadena matricial exacta, los gradientes de salida $\delta^{(L)} = \nabla_{a^{(L)}} \mathcal{L} \odot \sigma'(z^{(L)})$ se propagan hacia atrás:

\[\delta^{(l)} = \left( \delta^{(l+1)} (W^{(l)})^\top \right) \odot \sigma'\left( z^{(l)} \right)\]

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W^{(l)}} = \frac{1}{B} (a^{(l)})^\top \delta^{(l+1)}, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b^{(l)}} = \frac{1}{B} \sum_{b=1}^B \delta_b^{(l+1)}\]

1.4 Muestreo en trayectorias ergódicas (Maliar, Maliar & Winant 2021)

El muestreo en rejillas uniformes desperdicia recursos evaluando regiones del espacio de estados cuya probabilidad de visita en equilibrio es nula. Maliar et al. (2021) introducen el muestreo en trayectorias ergódicas:

Simulación: Desde un estado inicial $s_0$, se simulan trayectorias temporales de equilibrio bajo la política neuronal corriente: $$s_{t+1} = \mathcal{T}\left( s_t, c(s_t; \mathbf{w}), \epsilon_{t+1} \right), \quad t = 0, \dots, T_{\text{sim}}$$
Descarte de transición: Se descarta el período inicial $T_{\text{burn}}$ para eliminar la dependencia respecto a las condiciones iniciales.
Muestreo por minilotes: Se extraen lotes de entrenamiento aleatorios $s_b \sim \{s_t\}_{t=T_{\text{burn}}}^{T_{\text{sim}}}$ exclusivamente del conjunto ergódico de alta densidad.
Re-simulación periódica: La trayectoria se vuelve a simular cada $K_{\text{resim}}$ épocas conforme la regla de política evoluciona.

1.5 Activación acotada y garantías de viabilidad física

Las decisiones de control económico están sujetas a restricciones de recursos fundamentales. Por ejemplo, el consumo debe ser estrictamente positivo ($c > 0$) y no puede superar la riqueza disponible o liquidez total ($c < W(s)$).

DeepMacroModel impone la viabilidad física aplicando una función de acotamiento sigmoide a las salidas brutas de la red $\tilde{c} = \text{MLP}(s)$:

\[c_i(s) = \epsilon_{\min} + (W_i(s) - 2\epsilon_{\min}) \cdot \sigma\left( \tilde{c}_i \right)\]

donde $W_i(s) = A_i k_i^\alpha + (1 - \delta)k_i$ representa la riqueza total disponible. Esta garantía estructural previene que el optimizador explore estados económicamente inviables (consumo o capital negativos) durante el entrenamiento.

2. Opciones metodológicas y del solucionador

Funciones de activación suaves

DeepMacroMLP soporta funciones de activación suaves e infinitamente diferenciables con derivadas analíticas exactas:

SiLU / Swish ($\sigma(x) = x \cdot \text{sigmoid}(x)$): Activación no lineal predeterminada que evita la anulación del gradiente.
GELU ($\sigma(x) = 0.5 x (1 + \text{erf}(x / \sqrt{2}))$): Unidad lineal de error gaussiano estándar en modelos basados en transformers.
Tanh ($\sigma(x) = \tanh(x)$): Activación suave simétrica centrada en cero.
Softplus ($\sigma(x) = \ln(1 + e^x)$): Suavizado diferenciable de la función ReLU.

Optimizador Adam en NumPy puro

La clase AdamOptimizer implementa la actualización de momentos con corrección de sesgo:

\[m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t, \quad v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) g_t^2\]

\[\hat{m}_t = \frac{m_t}{1 - \beta_1^t}, \quad \hat{v}_t = \frac{v_t}{1 - \beta_2^t}, \quad \theta_t = \theta_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon} \hat{m}_t - \eta \lambda \theta_{t-1}\]

incorporando truncamiento de la norma del gradiente ($\|g\|_2 \le \bar{G}$) para asegurar estabilidad numérica.

3. Calibración canónica y especificación en alta dimensión

El modelo canónico de acumulación de capital multipaís considera $N = 10$ economías interconectadas:

Parámetro	Símbolo	Valor de referencia	Interpretación económica
Número de países (estados y controles)	$N$	$10$	10 stocks de capital $k_i$, 10 decisiones de consumo $c_i$
Participación del capital	$\alpha$	$0.360$	Coeficiente Cobb-Douglas en la función de producción
Factor de descuento subjetivo	$\beta$	$0.960$	Tasa anualizada de descuento temporal
Tasa de depreciación del capital	$\delta$	$0.080$	Depreciación física anual del capital
Topología de la red MLP	—	`(64, 64)`	2 capas ocultas con 64 neuronas cada una (4,874 parámetros)
Activación oculta	—	`"silu"`	Función de activación SiLU
Épocas de entrenamiento	—	$50$–$400$	Presupuesto de épocas (converge en $< 0.5$ s para 50 épocas)
Longitud de trayectoria ergódica	$T_{\text{sim}}$	$1500$	Horizonte temporal de la senda estocástica simulada
Tamaño de minilote	$B$	$64$–$128$	Número de vectores de estado por paso de gradiente

4. Ejemplos prácticos ejecutables

El siguiente script define un modelo de crecimiento de 10 países ($D = 10$), entrena la red neuronal informada por la física sobre trayectorias ergódicas simuladas y valida el residuo de Euler fuera de muestra:

import numpy as np
from puremacro.vfi.deep_macro import (
    DeepMacroModel,
    solve_deep_macro,
    DeepMacroSolution,
)

# 1. Definición del modelo de crecimiento de alta dimensión (10 estados, 10 controles)
model = DeepMacroModel.multi_country_growth(
    n_countries=10,
    alpha=0.36,
    beta=0.96,
    delta=0.08,
)
k_ss, c_ss = model.steady_state()
assert len(k_ss) == 10 and len(c_ss) == 10

# 2. Entrenamiento de la red neuronal informada por la física en NumPy puro
solution = solve_deep_macro(
    model,
    hidden_dims=(64, 64),
    activation="silu",
    n_epochs=50,
    batch_size=64,
    lr=2e-3,
    trajectory_length=1000,
    burn_in=100,
    seed=42,
    verbose=False,
)

assert isinstance(solution, DeepMacroSolution)
assert solution.converged
assert solution.test_euler_mse < 1e-3

# 3. Simulación de trayectoria y verificación de viabilidad física
sim_data = solution.simulate(periods=300, seed=123)
assert sim_data["physically_viable"]
summary_df = solution.summary()

print(f"Deep Macro resolvió el modelo de 10 países en {len(solution.loss_history)} épocas")
print(f"Pérdida final: {solution.loss_history[-1]:.2e}, ECM fuera de muestra: {solution.test_euler_mse:.2e}")

5. Especificación completa de la API

DeepMacroModel(
    n_states: int,
    n_controls: int,
    beta: float = 0.96,
    params: dict[str, Any] = field(default_factory=dict),
    reward_fn: Callable[[np.ndarray, np.ndarray], np.ndarray] | None = None,
    transition_fn: Callable[[np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray | None], np.ndarray] | None = None,
    euler_residual_fn: Callable[[np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray], np.ndarray] | None = None,
    name: str = "Multi-Country Capital Accumulation",
)

DeepMacroModel.multi_country_growth(
    n_countries: int = 10,
    alpha: float = 0.36,
    beta: float = 0.96,
    delta: float = 0.08,
    A: float | np.ndarray = 1.0,
    gamma: float = 1.0,
    rho: float = 0.90,
    sigma_eps: float = 0.02,
) -> DeepMacroModel

DeepMacroMLP(
    input_dim: int,
    hidden_dims: Sequence[int] = (64, 64),
    output_dim: int = 1,
    activation: str = "silu",
    output_activation: str = "linear",
    seed: int = 42,
    backend: str = "numpy",
)

AdamOptimizer(
    params: list[np.ndarray],
    lr: float = 1e-3,
    beta1: float = 0.9,
    beta2: float = 0.999,
    eps: float = 1e-8,
    weight_decay: float = 0.0,
    grad_clip: float | None = None,
)

solve_deep_macro(
    model: DeepMacroModel,
    hidden_dims: Sequence[int] = (64, 64),
    activation: str = "silu",
    n_epochs: int = 400,
    batch_size: int = 128,
    lr: float = 2e-3,
    trajectory_length: int = 2000,
    burn_in: int = 200,
    resimulate_every: int = 50,
    weight_decay: float = 1e-6,
    grad_clip: float = 1.0,
    backend: str = "numpy",
    seed: int = 42,
    verbose: bool = False,
    **kwargs: Any,
) -> DeepMacroSolution

Parámetros:

model: Objeto de problema que especifica las dimensiones de estado/control, el factor de descuento $\beta$ y los parámetros económicos.
hidden_dims: Dimensiones de las capas ocultas de la red neuronal (p. ej. (64, 64)).
activation: Función de activación suave ("silu", "gelu", "tanh", "sigmoid", "relu", "softplus").
n_epochs: Número total de épocas de entrenamiento.
batch_size: Tamaño de minilote muestreado de la trayectoria ergódica.
lr: Tasa de aprendizaje del optimizador Adam.
trajectory_length: Longitud de la trayectoria ergódica simulada.
resimulate_every: Frecuencia (en épocas) de re-simulación de la trayectoria de estados.
grad_clip: Umbral de truncamiento de norma de gradiente.

6. Interfaz de resultados y validación diagnóstica

DeepMacroSolution reúne la red neuronal entrenada, el historial de convergencia y las métricas diagnósticas fuera de muestra:

Atributos del contenedor

model: Referencia al modelo DeepMacroModel original.
mlp: Red neuronal DeepMacroMLP entrenada.
loss_history: Historial del valor de la función de pérdida por época.
test_euler_mse: Error Cuadrático Medio de Euler fuera de muestra ($\text{ECM} < 10^{-3}$).
test_euler_max: Residuo absoluto máximo de la ecuación de Euler en la muestra de prueba.
test_trajectory: Array de forma $(T_{\text{test}}, D)$ con la trayectoria simulada fuera de muestra.
elapsed_time: Tiempo de ejecución en segundos.
converged: Indicador booleano de convergencia exitosa ($\text{ECM} < 10^{-3}$).

Métodos de evaluación y simulación

solution.policy(s) -> np.ndarray: Evalúa la regla de decisión continua $c(s)$ en estados individuales o por lotes, garantizando viabilidad física ($0 < c_i < W_i$).
solution.simulate(s0=None, periods=300, seed=123) -> dict: Simula trayectorias hacia adelante devolviendo estados, controles, residuos de Euler y viabilidad física.
solution.summary() -> pd.DataFrame: Cuadro resumen con la arquitectura de la red, épocas, pérdida final, ECM de Euler y tiempo de cálculo.
solution.to_frame() -> pd.DataFrame: Alias que devuelve el DataFrame del cuadro resumen.
solution.to_markdown(digits=4) -> str: Tabla en formato Markdown.
solution.to_latex(digits=4) -> str: Entorno tabular en LaTeX para publicaciones científicas.
solution.to_typst(digits=4) -> str: Código Typst formateado.
solution.plot(figsize=(14, 4.5)) -> matplotlib.figure.Figure: Gráfico diagnóstico multipanel que visualiza la convergencia de la pérdida, los residuos de Euler fuera de muestra y las sendas simuladas de acumulación de capital.

Referencias

Coleman, W. J. (1990). "Solving the stochastic growth model by policy-function iteration." Journal of Business & Economic Statistics, 8(1), 27–29.
Judd, K. L., Maliar, L., Maliar, S., & Valero, R. (2014). "Smolyak method for solving dynamic economic models: Lagrange interpolation, anisotropic grid and adaptive domain." Journal of Economic Dynamics and Control, 44, 92–123.
Maliar, L., Maliar, S., & Winant, P. (2021). "Deep learning for solving dynamic economic models." Journal of Monetary Economics, 122, 76–101.

Parámetro	Símbolo	Valor de referencia	Interpretación económica
Número de países (estados y controles)	\(N\)	\(10\)	10 stocks de capital \(k_i\), 10 decisiones de consumo \(c_i\)
Participación del capital	\(\alpha\)	\(0.360\)	Coeficiente Cobb-Douglas en la función de producción
Factor de descuento subjetivo	\(\beta\)	\(0.960\)	Tasa anualizada de descuento temporal
Tasa de depreciación del capital	\(\delta\)	\(0.080\)	Depreciación física anual del capital
Topología de la red MLP	—	`(64, 64)`	2 capas ocultas con 64 neuronas cada una (4,874 parámetros)
Activación oculta	—	`"silu"`	Función de activación SiLU
Épocas de entrenamiento	—	\(50\)–\(400\)	Presupuesto de épocas (converge en \(< 0.5\) s para 50 épocas)
Longitud de trayectoria ergódica	\(T_{\text{sim}}\)	\(1500\)	Horizonte temporal de la senda estocástica simulada
Tamaño de minilote	\(B\)	\(64\)–\(128\)	Número de vectores de estado por paso de gradiente