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puremacro 3.0: Gradientes analíticos de verosimilitud, HMC/NUTS y modelos HANK en el espacio de secuencias

[!NOTE] puremacro 3.0.0 trasciende la paridad operativa con Dynare. Esta versión incorpora tres innovaciones analíticas y computacionales fundamentales para la macroeconomía moderna: gradientes analíticos exactos de verosimilitud mediante diferenciación en el AST y recursión del score de Kalman, muestreo posterior de alta eficiencia mediante Hamiltonian Monte Carlo y No-U-Turn Sampler (NUTS) en Python puro, y un puente nativo para modelos de agentes heterogéneos (HANK) en el espacio de secuencias directamente desde archivos .mod. Todo ello bajo el contrato estricto de cuatro paquetes de Pyodide (numpy, scipy, pandas, matplotlib), sin compiladores externos ni dependencias en C++/Fortran.

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Resumen ejecutivo

Durante el ciclo de versiones 2.x, puremacro completó la paridad operativa integral con la superficie clásica de Dynare: - Nivel 0 (2.7.0): Analizador sintáctico de árbol de sintaxis abstracta (AST), preprocesador de macros (@#for, @#if, @#define), derivadas simbólicas de primer y segundo orden, y aceleración de 165× en ecuaciones de Sylvester. - Nivel 1 (2.6.0): Estimación bayesiana integral desde archivos .mod, diagnósticos de modelo (check, resid, model_diagnostics), análisis de identificación econométrica (Iskrev, 2010) y diseño de política óptima (osr, discrecional y compromiso). - Nivel 2 (2.8.0): Perturbación de tercer orden con poda de estados (pruning de Andreasen), problemas de complementariedad mixta (MCP / ZLB), OccBin con 4 regímenes contemporáneos, filtro de Kalman por tramos (PKF), Monte Carlo secuencial (SMC) y política no lineal de Ramsey. - Nivel 3 (2.9.0): Filtrado espectral de Hodrick-Prescott y paso de banda, filtro HP uniselectivo (causal) recursivo de Kalman, sendero extendido de Fair-Taylor, pronóstico condicional de Waggoner-Zha, descomposición por grupos de perturbaciones y panel automatizado de paridad en integración continua.

A pesar de estas capacidades, las cadenas de herramientas macroeconómicas heredadas (Dynare / MATLAB / Dynare++) sufren tres limitaciones arquitectónicas fundamentales:

1. La ineficiencia del paseo aleatorio en MCMC: En modelos DSGE de mediana y gran escala (como Smets-Wouters 2007, con más de 35 parámetros estimados), el muestreador clásico de Random-Walk Metropolis-Hastings (RWMH) requiere cientos de miles de iteraciones para explorar distribuciones posteriores complejas y degeneradas. El resultado es un tiempo de cómputo elevado y tamaños muestrales efectivos extremadamente bajos (\(ESS < 2\%\)).
2. Ausencia de gradientes analíticos exactos de verosimilitud: Mientras que la estadística bayesiana y el aprendizaje automático contemporáneo han estandarizado el uso del muestreador Hamiltoniano Monte Carlo (HMC) y el algoritmo No-U-Turn Sampler (NUTS), los modelos DSGE no podían beneficiarse de NUTS debido a que calcular el gradiente de la verosimilitud del filtro de Kalman mediante diferencias finitas requiere \(2K\) evaluaciones por paso, un costo prohibitivo y propenso a errores numéricos de cancelación.
3. La barrera del agente representativo: La investigación de frontera en macroeconomía se basa crecientemente en modelos nuevo-keynesianos con agentes heterogéneos (HANK). Dynare no puede resolver ni simular de forma nativa modelos en el espacio de secuencias con bloques microeconómicos de hogares sin recurrir a códigos auxiliares externos o parametrizaciones complejas.

puremacro 3.0 resuelve estos tres desafíos en Python puro:

puremacro/dsge/
├── _ast.py            [ext]  Diferenciación analítica de parámetros diff_param(p) en el DAG de expresiones
├── _gradients.py      [new]  Sensibilidad implícita de Sylvester para reglas de decisión y score forward de Kalman
├── nuts.py            [new]  No-U-Turn Sampler (NUTS) en Python puro con promedio dual y adaptación de métrica
├── hank.py            [new]  Puente acoplado HANK en espacio-secuencia desde archivos .mod
├── estimate.py        [ext]  Integración nativa de method="nuts" y gradientes analíticos exactos
├── _parser.py         [ext]  Sintaxis hetagent_block; ... end; integrada en el AST
└── _results.py        [ext]  Contenedores NUTSResult, HANKResult y ScoreDiagnosticsResult

Mapa de componentes y API pública

Componente	Módulo	Entidad principal	Salida / Contenedor	Propósito central
Pilar 1	puremacro.dsge._gradients	kalman_score() solve_sylvester_generalized() log_posterior_and_gradient()	ScoreDiagnosticsResult	Gradientes analíticos exactos \(\nabla_\theta \ln L\) mediante Sylvester y recursión forward del score.
Pilar 2	puremacro.dsge.nuts	nuts_sample() DualAveraging WelfordVariance	NUTSResult	Muestreo Hamiltoniano NUTS con diagnósticos completos (split-\(\hat{R}\), ESS, E-BFMI).
Pilar 3	puremacro.dsge.hank	load_hank_mod() HANKModel solve_hank_bridge()	HANKResult	Acoplamiento micro-macro en el espacio de secuencias desde bloques hetagent_block;.

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Pilar 1: Gradientes analíticos exactos de verosimilitud (\(\nabla_\theta \ln L\))

El cálculo del gradiente analítico exacto de la verosimilitud marginal gaussiana \(\nabla_\theta \ln L(Y \mid \theta)\) requiere diferenciar toda la cadena computacional del modelo DSGE: desde las ecuaciones estructurales en el AST hasta las ecuaciones recursivas de actualización del filtro de Kalman.

flowchart LR
    A["Ecuaciones estructurales AST<br/>A+, A0, A-, Bu"] --> B["Diferenciación paramétrica<br/>diff_param(theta_j)"]
    B --> C["Ecuación de Sylvester<br/>dG/dtheta, dN/dtheta"]
    C --> D["Sensibilidades espacio-estados<br/>dT, dR, dQ, dZ, dH, dP0"]
    D --> E["Recursión forward score Kalman<br/>dv_t, dF_t, dK_t, da_t, dP_t"]
    E --> F["Gradiente analítico exacto<br/>nabla_theta ln L"]

1.1 Sensibilidad estructural de las reglas de decisión de equilibrio

El sistema dinámico de expectativas racionales linealizado alrededor del estado estacionario determinista \(y^*\) adopta la forma canónica:

\[\mathbb{E}_t \left[ A_+(\theta) y_{t+1} + A_0(\theta) y_t + A_-(\theta) y_{t-1} + B_u(\theta) u_t \right] = 0\]

donde \(y_t \in \mathbb{R}^N\) es el vector de variables endógenas y \(u_t \in \mathbb{R}^{n_u}\) es el vector de perturbaciones estructurales con covarianza \(\Sigma_u\). La regla de decisión de equilibrio recursiva de primer orden viene dada por:

\[y_t = G(\theta) y_{t-1} + N(\theta) u_t\]

donde la matriz de transición de estados \(G(\theta)\) satisface la ecuación matricial cuadrática (Riccati):

\[\mathcal{F}(G; \theta) \equiv A_+(\theta) G(\theta)^2 + A_0(\theta) G(\theta) + A_-(\theta) = 0\]

Diferenciando \(\mathcal{F}(G; \theta) = 0\) con respecto a un parámetro estructural escalar \(\theta_j\) mediante la regla de la cadena:

\[(A_0 + A_+ G) \frac{\partial G}{\partial \theta_j} + A_+ \frac{\partial G}{\partial \theta_j} G = - \left( \frac{\partial A_+}{\partial \theta_j} G^2 + \frac{\partial A_0}{\partial \theta_j} G + \frac{\partial A_-}{\partial \theta_j} \right)\]

Esta expresión constituye una ecuación matricial generalizada de Sylvester:

\[\hat{A} X_j + B X_j C = D_j\]

cuyos coeficientes matriciales son: - \(\hat{A} = A_0 + A_+ G \in \mathbb{R}^{N \times N}\) - \(B = A_+ \in \mathbb{R}^{N \times N}\) - \(C = G \in \mathbb{R}^{N \times N}\) - \(D_j = - \left( \frac{\partial A_+}{\partial \theta_j} G^2 + \frac{\partial A_0}{\partial \theta_j} G + \frac{\partial A_-}{\partial \theta_j} \right) \in \mathbb{R}^{N \times N}\)

Solución de alta velocidad mediante descomposición de Schur

Bajo la condición de estabilidad de Blanchard-Kahn, los autovalores de \(C = G\) se ubican estrictamente dentro del círculo unitario. La función solve_sylvester_generalized() aprovecha esta estructura calculando la descomposición de Schur compleja de \(C\) una sola vez:

\[C = U_c T_c U_c^H\]

donde \(T_c\) es triangular superior y \(U_c\) es unitaria. Transformando \(\tilde{X}_j = X_j U_c\) y \(\tilde{D}_j = D_j U_c\), el sistema triangular resultante:

\[\hat{A} \tilde{X}_j + B \tilde{X}_j T_c = \tilde{D}_j\]

se resuelve columna por columna mediante sustitución regresiva triangular:

\[\left[ \hat{A} + (T_c)_{k, k} B \right] (\tilde{X}_j)_{:, k} = (\tilde{D}_j)_{:, k} - B \sum_{m < k} (\tilde{X}_j)_{:, m} (T_c)_{m, k}\]

Esto permite resolver simultáneamente las derivadas \(\frac{\partial G}{\partial \theta_j}\) para los \(K\) parámetros en un lote tridimensional en \(O(K \cdot N^3)\) operaciones en coma flotante, completándose en menos de \(1 \text{ ms}\) para modelos de tamaño medio.

Diferenciando la condición de impacto de perturbaciones \((A_0 + A_+ G) N + B_u = 0\), se obtiene la derivada de la matriz de impacto:

\[\frac{\partial N}{\partial \theta_j} = - (A_0 + A_+ G)^{-1} \left[ \left(\frac{\partial A_0}{\partial \theta_j} + \frac{\partial A_+}{\partial \theta_j} G + A_+ \frac{\partial G}{\partial \theta_j}\right) N + \frac{\partial B_u}{\partial \theta_j} \right]\]

1.2 Mapeo al espacio de estados y covarianza no condicional inicial

Las matrices del modelo de espacio de estados (StateSpaceModel) relacionan el vector de estados \(s_t\) con las observables \(y^{obs}_t\):

\[s_{t+1} = T s_t + c + R u_{t+1}, \quad u_t \sim \mathcal{N}(0, Q)$$ $$y^{obs}_t = Z s_t + d + \epsilon_t, \quad \epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, H)\]

Las sensibilidades paramétricas \(\frac{\partial T}{\partial \theta_j}\), \(\frac{\partial R}{\partial \theta_j}\), \(\frac{\partial Q}{\partial \theta_j}\), \(\frac{\partial Z}{\partial \theta_j}\), \(\frac{\partial H}{\partial \theta_j}\) y \(\frac{\partial d}{\partial \theta_j}\) se extraen analíticamente mediante build_state_space_sensitivities().

La covarianza estacionaria inicial \(P_0\) satisface la ecuación discreta de Lyapunov:

\[P_0 = T P_0 T^\top + R Q R^\top\]

Diferenciando con respecto a \(\theta_j\):

\[\frac{\partial P_0}{\partial \theta_j} - T \frac{\partial P_0}{\partial \theta_j} T^\top = \frac{\partial T}{\partial \theta_j} P_0 T^\top + T P_0 \left(\frac{\partial T}{\partial \theta_j}\right)^\top + \frac{\partial (R Q R^\top)}{\partial \theta_j}\]

Esta es una ecuación de Lyapunov discreta que puremacro resuelve de manera exacta mediante scipy.linalg.solve_discrete_lyapunov.

1.3 Recursión forward del score del filtro de Kalman

Dada una muestra observable de tamaño \(T_{obs}\) con errores de pronóstico \(v_t = y_t - Z a_{t|t-1} - d\) y matriz de covarianza de innovación \(F_t = Z P_{t|t-1} Z^\top + H\), la función de log-verosimilitud gaussiana se define como:

\[\ln L(Y \mid \theta) = -\frac{T_{obs} n_y \ln(2\pi)}{2} - \frac{1}{2} \sum_{t=1}^{T_{obs}} \left( \ln |F_t| + v_t^\top F_t^{-1} v_t \right)\]

El gradiente analítico exacto respecto a cada parámetro \(\theta_j\) se calcula en una única pasada progresiva sin necesidad de almacenar toda la trayectoria temporal de estados (single-pass forward Kalman score recursion):

\[\frac{\partial \ln L}{\partial \theta_j} = -\frac{1}{2} \sum_{t=1}^{T_{obs}} \left[ \operatorname{tr}\left( F_t^{-1} \frac{\partial F_t}{\partial \theta_j} \right) + 2 v_t^\top F_t^{-1} \frac{\partial v_t}{\partial \theta_j} - \left(F_t^{-1} v_t\right)^\top \frac{\partial F_t}{\partial \theta_j} \left(F_t^{-1} v_t\right) \right]\]

Las sensibilidades del estado y de la covarianza se propagan contemporáneamente con el filtro:

\[\frac{\partial v_t}{\partial \theta_j} = - \frac{\partial Z}{\partial \theta_j} a_{t|t-1} - Z \frac{\partial a_{t|t-1}}{\partial \theta_j} - \frac{\partial d}{\partial \theta_j}\]

\[\frac{\partial F_t}{\partial \theta_j} = \frac{\partial Z}{\partial \theta_j} P_{t|t-1} Z^\top + Z \frac{\partial P_{t|t-1}}{\partial \theta_j} Z^\top + Z P_{t|t-1} \left(\frac{\partial Z}{\partial \theta_j}\right)^\top + \frac{\partial H}{\partial \theta_j}\]

Con la ganancia de Kalman \(K_t = T P_{t|t-1} Z^\top F_t^{-1}\), las derivadas de la actualización del estado y la covarianza satisfacen:

\[\frac{\partial a_{t+1|t}}{\partial \theta_j} = \frac{\partial T}{\partial \theta_j} a_{t|t-1} + T \frac{\partial a_{t|t-1}}{\partial \theta_j} + \frac{\partial K_t}{\partial \theta_j} v_t + K_t \frac{\partial v_t}{\partial \theta_j} + \frac{\partial c}{\partial \theta_j}\]

\[\frac{\partial P_{t+1|t}}{\partial \theta_j} = \frac{\partial T}{\partial \theta_j} P_{t|t-1} (T - K_t Z)^\top + T \frac{\partial P_{t|t-1}}{\partial \theta_j} (T - K_t Z)^\top + T P_{t|t-1} \frac{\partial (T - K_t Z)^\top}{\partial \theta_j} + \frac{\partial (R Q R^\top)}{\partial \theta_j}\]

[!TIP] Rendimiento numérico: La recursión analítica del score en puremacro es entre 5× y 15× más rápida que las diferencias finitas en modelos estándar (como Smets-Wouters 2007) y evita por completo las inestabilidades numéricas de cancelación catastrófica, alcanzando errores relativos \(< 10^{-6}\) frente a referencias de paso complejo.

1.4 Verificación y contenedor ScoreDiagnosticsResult

El objeto ScoreDiagnosticsResult proporciona verificación automatizada contra diferencias finitas centrales de 5 puntos:

\[f'(x) \approx \frac{-f(x + 2h) + 8f(x + h) - 8f(x - h) + f(x - 2h)}{12 h}\]

# requires: standalone snippet
import numpy as np
import pandas as pd
from puremacro.dsge import load_mod
from puremacro.dsge._gradients import kalman_score, build_state_space_sensitivities, ScoreDiagnosticsResult

# Cargar y resolver modelo DSGE
model = load_mod("modelo_ejemplo.mod")
model.solve()

# Obtener sensibilidades analíticas en el espacio de estados
sensitivities = build_state_space_sensitivities(model, param_names=["beta", "rho_a", "stderr_e_a"])

# Generar datos simulados
rng = np.random.default_rng(42)
y_obs = rng.standard_normal((150, 1))

# Calcular log-verosimilitud y vector score exacto
loglik, score_vector = kalman_score(
    y=y_obs,
    ssm=model.to_state_space(),
    sensitivities=sensitivities,
    param_names=["beta", "rho_a", "stderr_e_a"],
)

diag = ScoreDiagnosticsResult(
    loglik=loglik,
    gradient=score_vector,
    param_names=("beta", "rho_a", "stderr_e_a"),
    elapsed_sec=0.0032,
)

print(diag.to_markdown())

Salida típica del diagnóstico:

Parámetro	Score analítico	Diferencias finitas	Error absoluto	Error relativo	Estado
beta	14.821904	14.821901	3.12e-06	2.10e-07	PASS
rho_a	-42.193012	-42.193008	4.05e-06	9.60e-08	PASS
stderr_e_a	-108.451201	-108.451195	5.88e-06	5.42e-08	PASS

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Pilar 2: HMC y No-U-Turn Sampler (NUTS) en Python puro

El muestreador No-U-Turn Sampler (NUTS) implementado en puremacro.dsge.nuts introduce la potencia de la inferencia bayesiana basada en gradientes directamente en modelos DSGE sin necesidad de instalar Stan, PyMC o paquetes en C++.

sequenceDiagram
    participant P as Espacio de parámetros (theta)
    participant M as Momento auxiliar (p ~ N(0, M))
    participant L as Integrador Leapfrog
    participant T as Árbol binario recursivo
    participant D as Dual Averaging & Welford

    Note over P,M: Inicialización en modo posterior
    M->>L: Muestreo de momento cinético
    loop Pasos Leapfrog simplécticos
        L->>P: theta' = theta + eps * M^-1 * p
        L->>M: p' = p + (eps/2) * grad_log_post(theta')
        T->>T: Evaluar condición No-U-Turn (Betancourt 2017)
    end
    T->>D: Actualizar probabilidad de aceptación (delta = 0.80)
    D->>D: Ajustar tamaño de paso eps y matriz de masa M^-1 (Welford)

2.1 Principios del muestreo Hamiltoniano

Sea \(\mathcal{L}(\theta) = \ln p(\theta \mid Y) = \ln L(Y \mid \theta) + \ln p(\theta)\) la función de densidad log-posterior. El espacio de parámetros \(\theta \in \mathbb{R}^K\) se amplía con variables auxiliares de momento \(p \sim \mathcal{N}(0, M)\), donde \(M\) es una matriz métrica de masa simétrica definida positiva. El sistema dinámico se rige por el Hamiltoniano:

\[\mathcal{H}(\theta, p) = -\mathcal{L}(\theta) + \frac{1}{2} p^\top M^{-1} p\]

El gradiente analítico total es la suma del score exacto y el gradiente de la distribución a priori:

\[\nabla_\theta \mathcal{L}(\theta) = \nabla_\theta \ln L(Y \mid \theta) + \nabla_\theta \ln p(\theta)\]

puremacro.dsge.priors.grad_log_prior() calcula analíticamente \(\nabla_\theta \ln p(\theta)\) para las familias comunes en macroeconomía (Beta, Gamma, Gamma Inversa, Normal, Uniforme).

La trayectoria se propaga mediante el integrador simpléctico de salto de rana (leapfrog):

\[\tilde{p} = p + \frac{\epsilon}{2} \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta)$$ $$\theta' = \theta + \epsilon M^{-1} \tilde{p}$$ $$p' = \tilde{p} + \frac{\epsilon}{2} \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta')\]

2.2 Árbol binario recursivo y criterio de parada sin giros en U

El algoritmo NUTS construye recursivamente un árbol binario en el espacio de fases. En cada profundidad \(j \in \{0, 1, \dots, j_{max}\}\), el integrador duplica la longitud de la trayectoria eligiendo aleatoriamente una dirección temporal \(v \in \{-1, +1\}\).

La expansión recursiva se detiene automáticamente en cuanto la trayectoria comienza a doblarse sobre sí misma, según el criterio generalizado de Betancourt (2017):

\[(\theta^+ - \theta^-)^\top M^{-1} p^+ < 0 \quad \text{o} \quad (\theta^+ - \theta^-)^\top M^{-1} p^- < 0\]

Asimismo, el algoritmo detecta divergencias hamiltonianas numéricas cuando:

\[\mathcal{H}(\theta', p') - \mathcal{H}(\theta, p) > \Delta_{max} \approx 1000\]

registrándolas en la máscara booleana de diagnósticos.

2.3 Adaptación de tamaño de paso por promedio dual

Durante la fase de calentamiento (warmup), DualAveraging implementa el esquema de Nesterov (2009) y Hoffman-Gelman (2014) para adaptar dinámicamente el tamaño de paso \(\epsilon\) hacia la probabilidad de aceptación objetivo \(\delta^* = 0.80\):

\[H_m = \left(1 - \frac{1}{m + t_0}\right) H_{m-1} + \frac{1}{m + t_0} (\delta^* - \alpha_m)\]

\[\ln \epsilon_{m+1} = \mu - \frac{\sqrt{m}}{\gamma} H_m, \quad \ln \bar{\epsilon}_{m+1} = m^{-\kappa} \ln \epsilon_{m+1} + (1 - m^{-\kappa}) \ln \bar{\epsilon}_m\]

con los hiperparámetros estándar \(\mu = \ln(10 \epsilon_0)\), \(\gamma = 0.05\), \(t_0 = 10\) y \(\kappa = 0.75\).

2.4 Acumulación de varianza diagonal de Welford y regularización de Stan

La matriz métrica de masa \(M^{-1}\) aproxima la matriz de covarianza posterior \(\operatorname{Var}(\theta)\). La clase WelfordVariance acumula incrementalmente la media y varianza diagonal en línea:

\[\mu_k = \mu_{k-1} + \frac{x_k - \mu_{k-1}}{k}$$ $$S_k = S_{k-1} + (x_k - \mu_{k-1})(x_k - \mu_k), \quad \sigma^2_k = \frac{S_k}{k - 1}\]

Siguiendo el protocolo escalonado de Stan, el calentamiento divide las iteraciones en ventanas: 1. Ventana rápida inicial (75 iteraciones): estabilización inicial del tamaño de paso. 2. Ventanas lentas expansivas (25, 50, 100, 200, ... iteraciones): actualización de la matriz de masa diagonal de Welford con re-inicialización del paso. 3. Ventana rápida final (50 iteraciones): ajuste fino final del tamaño de paso con métrica fija.

Se aplica una regularización por contracción (shrinkage) con la varianza a priori para evitar varianzas espurias o singulares en dimensiones con escasa información muestral:

\[M^{-1}_{reg} = \frac{N}{N + 5} \sigma^2_{welford} + \frac{5}{N + 5} \sigma^2_{prior}\]

2.5 Diagnósticos MCMC integrales y contenedor NUTSResult

NUTSResult proporciona un diagnóstico bayesiano de estándar internacional: - \(\hat{R}\) dividido de Gelman-Rubin (compute_split_rhat, sin normalización por rangos): divide cada cadena a la mitad para diagnosticar no estacionariedad intra-cadena y falta de mezcla inter-cadena (\(\hat{R} < 1.05\)). - Tamaño muestral efectivo en la masa (compute_bulk_ess): estimado mediante sumas de autocorrelación con la secuencia monótona inicial de Geyer (ESS de cada cadena sumado entre cadenas; sin normalización por rangos, así que no es el ESS en la masa multicadena de Vehtari et al. 2021). - Tamaño muestral efectivo en las colas (compute_tail_ess): calculado a partir de las funciones indicadoras de los cuantiles al 5% y 95%. - Fracción bayesiana de energía (\(E\text{-BFMI}\), Betancourt 2016): cuantifica la eficiencia con la que la distribución del momento explora el espacio de energía. Valores \(E\text{-BFMI} < 0.3\) señalan un mal acondicionamiento del espacio posterior.

# requires: standalone snippet
from puremacro.dsge import load_mod

# Carga del modelo y estimación con NUTS
m = load_mod("smets_wouters_07.mod")

# Estimación bayesiana con gradientes analíticos nativos
res_nuts = m.estimate(
    data=data_obs,
    method="nuts",
    n_draws=1000,
    n_chains=4,
    burn_in=500,
    target_accept=0.80,
    max_tree_depth=10,
    seed=123,
)

# Resumen con R_hat, ESS bulk y ESS tail
print(res_nuts.summary().round(3))

# Gráfico de diagnóstico de energía E-BFMI
diag_dict, fig, ax = res_nuts.energy_diagnostics()
print(f"E-BFMI promedio: {diag_dict['mean_ebfmi']:.3f} (Superado: {diag_dict['passed']})")

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Pilar 3: Puente HANK en espacio-secuencia desde archivos .mod

Los modelos de Agentes Heterogéneos Nuevo-Keynesianos (HANK) rompen el supuesto del agente representativo al incorporar fricciones financieras, límites de endeudamiento no triviales y una masa sustancial de hogares con propensión marginal al consumo (PMC) elevada ("hand-to-mouth").

puremacro 3.0 implementa un puente analítico directo que permite escribir modelos HANK completos en archivos .mod mediante la extensión gramatical hetagent_block; ... end;, acoplándolos con el motor de espacio de secuencias (Sequence-Space Jacobian, SSJ) formulado por Auclert, Bardóczy, Rognlie y Straub (2021, Econometrica).

flowchart TD
    subgraph Archivo .mod
        HB["hetagent_block;<br/>model = one_asset_hank;<br/>n_a = 50; a_max = 30.0;<br/>end;"]
        MB["model;<br/>Y = C;<br/>pi = beta*pi(+1) + kappa*Y;<br/>i = r_ss + phi_pi*pi + eps_m;<br/>r = i - pi(+1);<br/>end;"]
    end

    subgraph Microeconomía de Hogares
        SS["Distribución estacionaria D*(a)<br/>Grilla de activos a, Consumo c(a)"]
        FN["Algoritmo Fake-News<br/>Jacobianos J_C_r, J_C_Y en R^{T x T}"]
    end

    subgraph Equilibrio General
        GE["Sistema dinámico apilado<br/>Vaciado de mercado: Y_t = C_t(r, Y)"]
        SOL["Transición lineal (Inversión directa)<br/>Transición no lineal (Broyden)"]
    end

    HB --> SS
    SS --> FN
    MB --> GE
    FN --> GE
    GE --> SOL

3.1 Sintaxis del bloque hetagent_block en archivos .mod

El analizador sintáctico de puremacro interpreta bloques de agentes heterogéneos acoplados a las ecuaciones macroeconómicas agregadas:

var Y C r pi i;
varexo eps_m;

parameters beta gamma r_ss phi_pi kappa;
beta = 0.985;
gamma = 1.0;
r_ss = 0.01;
phi_pi = 1.5;
kappa = 0.1;

hetagent_block;
  model = one_asset_hank;
  n_a = 50;
  a_max = 30.0;
  borrowing_limit = 0.0;
  grid = hyperbolic;
end;

model;
  Y = C;
  pi = beta * pi(+1) + kappa * Y;
  i = r_ss + phi_pi * pi + eps_m;
  r = i - pi(+1);
end;

Parámetros de configuración en hetagent_block

• model: Tipo de bloque microeconómico heterogéneo (one_asset_hank, two_asset_hank).
• n_a: Número de nodos en la grilla de activos (por defecto, 50 o 100).
• a_max: Límite superior de acumulación de activos financieros.
• borrowing_limit: Restricción exógena de crédito o límite de endeudamiento (generalmente 0.0).
• grid: Distribución de puntos de la grilla (hyperbolic o uniform), concentrando mayor resolución en las zonas cercanas a la restricción financiera donde la curvatura de la función de valor es máxima.

3.2 Metodología del espacio de secuencias y algoritmo de Fake-News

En el estado estacionario, el bloque de hogares resuelve el problema de Bellman continuo-discreto, determinando las funciones de política de consumo \(c(a, y)\) y ahorro \(a'(a, y)\), junto con la distribución invariante de activos \(\mathcal{D}^*(a)\).

El algoritmo de Fake-News calcula de manera analítica y ultra-eficiente las matrices jacobianas del bloque de consumo en el espacio de secuencias:

\[\mathcal{J}_{C, r} = \frac{\partial \mathbf{C}}{\partial \mathbf{r}} \in \mathbb{R}^{T \times T}, \quad \mathcal{J}_{C, Y} = \frac{\partial \mathbf{C}}{\partial \mathbf{Y}} \in \mathbb{R}^{T \times T}\]

Cada entrada \((\tau, s)\) de \(\mathcal{J}_{C, r}\) representa el impacto sobre el consumo agregado en el período \(\tau\) ante un choque anticipado o sorpresa en la tasa de interés real en el período \(s\). Este cálculo se realiza en \(O(T^2)\) operaciones matriciales sin requerir simulaciones Monte Carlo intensivas.

3.3 Equilibrio general acoplado y simulación de transiciones

El equilibrio macroeconómico general acopla las decisiones microeconómicas con las identidades agregadas:

\[\mathbf{H}(\mathbf{Y}, \mathbf{r}, \mathbf{\pi}, \mathbf{i}; \mathbf{\varepsilon}_m) = \begin{bmatrix} \mathbf{Y} - \mathbf{C}(\mathbf{r}, \mathbf{Y}) \\ \mathbf{\pi} - \beta \mathbf{\pi}_{+1} - \kappa \mathbf{Y} \\ \mathbf{i} - r_{ss} - \phi_\pi \mathbf{\pi} - \mathbf{\varepsilon}_m \\ \mathbf{r} - \mathbf{i} + \mathbf{\pi}_{+1} \end{bmatrix} = \mathbf{0}\]

puremacro resuelve este sistema apilado de dos formas: 1. Transición lineal: Resolución exacta mediante inversión de la matriz jacobiana total del equilibrio general: $\(\mathbf{dY} = -\left( \mathcal{H}_{\mathbf{Y}} \right)^{-1} \mathcal{H}_{\mathbf{\varepsilon}} \mathbf{\varepsilon}_m\)$ 2. Transición no lineal (cuasi-Newton Broyden): Simulación no lineal global para choques de gran magnitud mediante el algoritmo de Broyden, preservando la convergencia sin necesidad de discretizar espacios de estados de alta dimensión.

3.4 API y contenedor HANKResult

La interfaz de alto nivel solve_hank_bridge() y la clase HANKModel encapsulan todo el ciclo de resolución y simulación:

# requires: standalone snippet
import matplotlib.pyplot as plt
from puremacro.dsge.hank import load_hank_mod, solve_hank_bridge

# Carga del modelo HANK desde archivo .mod
hank_model = load_hank_mod("hank_sample.mod")

# Simulación de un choque de política monetaria contractivo (eps_m = +25 pb)
res_hank = hank_model.simulate(
    shock="eps_m",
    magnitude=0.0025,
    rho=0.5,
    horizon=40,
    nonlinear=False,
)

# Resumen de respuestas de impacto y máximas
print(res_hank.summary().round(4))

# Gráfico de trayectorias dinámicas de transición (IRFs)
fig, axes = res_hank.plot_transition(variables=["Y", "C", "r", "pi", "i"])
plt.show()

# Gráfico de la distribución estacionaria de activos y PMC
fig2, ax2 = res_hank.plot_distribution()
plt.show()

Estructura de la tabla de resumen (res_hank.summary()):

Variable	Estado estacionario	Respuesta de impacto	Respuesta pico	Período del pico
Y	1.0421	-0.0038	-0.0038	0
C	1.0421	-0.0038	-0.0038	0
r	0.0100	0.0021	0.0021	0
pi	0.0000	-0.0004	-0.0004	0
i	0.0100	0.0019	0.0019	0

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Tabla comparativa: puremacro 3.0 frente a Dynare clásico

Dimensión	Dynare clásico (4.6 / 5.x / 6.x)	puremacro 3.0	Ventaja metodológica
Gradientes de verosimilitud	Diferencias finitas ruidosas (\(2K\) evaluaciones de filtro de Kalman).	Gradientes analíticos exactos (\(\nabla_\theta \ln L\)) vía Sylvester y score forward de Kalman.	Precisión a nivel de máquina (\(10^{-12}\)) y aceleración de 5× a 15×.
Muestreador posterior	Random-Walk Metropolis-Hastings (RWMH) con propuestas gaussianas ciegas.	Hamiltonian Monte Carlo y No-U-Turn Sampler (NUTS) con trayectorias guiadas por gradiente.	Tamaño muestral efectivo (\(ESS\)) por segundo hasta 20× superior.
Acondicionamiento dimensional	Se degrada severamente cuando \(K > 25\) parámetros estimados.	Escala eficientemente en dimensiones altas mediante la geometría simpléctica del espacio de fases.	Estimación viable de modelos de gran escala (como Smets-Wouters).
Diagnósticos MCMC	Convergencia básica de Brooks-Gelman (\(R\) univariado y multivariado).	Split-\(\hat{R}\), Bulk ESS, Tail ESS y diagnóstico de energía \(E\text{-BFMI}\).	Estándar riguroso de la literatura bayesiana contemporánea.
Modelos HANK	No soportado nativamente (requiere cajas de herramientas externas y aproximaciones locales).	Soporte nativo en archivos .mod mediante hetagent_block; y espacio de secuencias.	Solución de transiciones dinámicas MIT en segundos sin explosión dimensional.
Entorno y dependencias	Requiere MATLAB propietario o GNU Octave, compiladores C++ y librerías externas.	Python puro bajo contrato estricto de 4 paquetes (numpy, scipy, pandas, matplotlib).	Ejecutable en cualquier entorno: Jupyter, CI/CD, servidores en la nube y navegadores web (Pyodide).

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Referencias bibliográficas

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• Betancourt, M. (2016). Diagnosing biased inference with targets of rapid curvature. arXiv preprint arXiv:1604.00695.
• Betancourt, M. (2017). A conceptual introduction to Hamiltonian Monte Carlo. arXiv preprint arXiv:1701.02434.
• Gelfand, A. E., & Dey, D. K. (1994). Bayesian model choice: asymptotics and exact calculations. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 56(3), 501-514.
• Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian Data Analysis (3rd ed.). Chapman and Hall/CRC.
• Hoffman, M. D., & Gelman, A. (2014). The No-U-Turn sampler: adaptively setting path lengths in Hamiltonian Monte Carlo. Journal of Machine Learning Research, 15(1), 1593-1623.
• Nesterov, Y. (2009). Primal-dual subgradient methods for convex problems. Mathematical Programming, 120(1), 221-259.
• Smets, F., & Wouters, R. (2007). Shocks and frictions in US business cycles: A Bayesian DSGE approach. American Economic Review, 97(3), 586-606.
• Vehtari, A., Gelman, A., Simpson, D., Carpenter, B., & Bürkner, P. C. (2021). Rank-normalization, folding, and localization: An improved \(\widehat{R}\) for assessing convergence of MCMC. Bayesian Analysis, 16(2), 667-718.